Сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию равна 7 , а сумма их квадратов равна 21. Найдите эти числа. С подробным решение, НЕ пишите

+ 0 -

Sashasveta

10 мая 2014 г., 3:38:48 (9 лет назад)

Примем

а1 - первое число

а2 - второе число

а3 - третье число

К - постоянная прогрессии

тогда

а1+а2+а3=7

а1^2+а2^2+а3^2=21

а2=К*а1

а3=К*а2=К*К*а1=К^2*а1

а1+К*а1+К^2*а1=7

а1*(К^2+К+1)=7

а1=7/(К^2+К+1)

(7/(К^2+К+1))^2+(К*7/(К^2+К+1))^2+(К^2*7/(К^2+К+1))^2-21=0

(49+49*К^2+49*К^4)-21*(К^2+К+1)^2=0

28*К^4-42*К^3-14*К^2-42*К+28=0

2*К^4-3*К^3-К^2-3*К+2=0

2*K^4/K^2-3*K^3/K^2-K^2/K^2-3*K/K^2+2/K^2=0

2*K^2-3*K-1-3*K/K^2+2/K^2=0

2*K^2+2/K^2-3*K-3*K/K^2-1=0

2*(K^2+1/K^2)-3*(K-1/K^2)-1=0

K-1/K^2=x--->(K-1/K^2)^2=x^2--->x^2+1/x^2=x^2-2

2*x^2-3*x-5=0

Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=(-3)^2-4*2*(-5)=9-4*2*(-5)=9-8*(-5)=9-(-8*5)=9-(-40)=9+40=49;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(7+3)/(2*2)=10/(2*2)=10/4=2.5;
x_2=(-7-(-3))/(2*2)=(-7+3)/(2*2)=-4/(2*2)=-4/4=-1.

K-1/K^2=2.5--->K^3-2.5*K^2-1=0

K-1/K^2=-1--->K^3+K^2-1=0

К=2

а1=1

а2=2*1=2

а3=2^2*1=4