найти все значения параметра "а", при которых все решения неравенства (x-2)/(x-5)<0 удовлетворяют неравенству x^2+(4-a)x-4a+4>0

+ 0 -

Нарюня

03 мая 2015 г., 12:12:01 (9 лет назад)

решением неравенства (x-2)/(x-5)<0 являются все х из промежутка (2;5)

оно равносильно неравенству x^2-7x+10<0, или

-x^2+7x-10>0

x^2+(4-a)x-4a+4>0

график левой части квадратная парабола ветки которой подняты верх

D=(4-a)^2-4*(-4a+4)=16-8a+a^2+16a-16=a^2+8a

отсюда задача

найти все значения параметра "а", при которых все решения неравенства (x-2)/(x-5)<0 удовлетворяют неравенству x^2+(4-a)x-4a+4>0, равносильна следующей задачи, решить систему неравенств для а:

a^2+8a>0   (дискримант больше 0 - это условие дает два корня)

x1=((a-4)-корень(a^2+8a))\2<=2

x2=((a-4)+корень(a^2+8a))\2>=5 (эти условия дают принадлежность множетсва решений первого неравенства множеству решений второго, x1<=2<5<x2)

Решаем систему

a^2+8a>0 (*)

a(a+8)>0

a<-8 или a>0 (1)

((a-4)-корень(a^2+8a))\2<=2

a-4-корень(a^2+8a)<=4

a-8<=корень(a^2+8a)

разбивается на 2 случая

1 случай a<8

              a^2+8a>0

откуда учитывая решение (*)

а<-8 или 0<a<8

2 случай a>=8

              a^2+8a>=0

              (a-8)^2<=a^2+8a

a>=8

a<=-8 или a>=0

a>=-8\3

( (a-8)^2<=a^2+8a

a^2-16a+64<=a^2+8a

-24a<=64

a>=-8\3),

итожа получаем a>=8

итожа первый и второй случай a>=0 (2)

((a-4)+корень(a^2+8a))\2>=5

a-4+корень(a^2+8a)>=10

a-14>=-корень(a^2+8a)

14-a<=корень(a^2+8a)

разбивается на 2 случая

1 случай 14-a<0

             a^2+8a>=0

a>14

a<=-8 или a>=0

a>14

2 случай  14-a>0

             a^2+8a>=0