Решить в целых числах уравнение 1!+2!+3!+4!+...+х!=у^2
10-11 класс
|
Я буду рассуждать следующим образом:
1. Корни, которые видно сразу:
x=0, y=1 (т.к. 0!=1 по определению факториала)
x=0, y=-1
x=1, y=1
x=1, y=-1
Факториала из отрицательного числа не существует, следовательно, все x >=0.
2. Других корней нет, так как и левая, и правая части возрастают
Рассмотрим f(x)=x! и g(x)=y^2
g(x) - это парабола, наклоненная на 90 градусов, т.е. ветви направлены вправо.
f(x)=x!~x^x*ln(x) по ф-ле Стирлинга, т.е. возрастает быстрее любой степенной функции, т.е. заведомо быстрее чем y^2. Это можно доказать, рассмотрев производные этих функций, либо просто на графике показать. Следовательно, точек пересечения графики этих функций кроме вышеназванных не имеют.
Функция же f1(x)=1!+2!+...+x! возрастает ещё быстрее, чем x!, следовательно, других корней у этого уравнения нет.
Другие вопросы из категории
дам 40 пунктов за решение
номера в приложенном файле
1) f(x)=x^5+2x-8
2) f(x)=4/(1-x)
Читайте также
а)xy-2y+x=3
б) 4x^2+y^2-4x+6y=-5
в)xy-2x-3y+1=0