Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема при условии, что длина его диагонали равна d.
10-11 класс
|
ПОМОГИТЕ ПЛИЗ
Итак, нужно найти максимум функции V(x,y,z) = xyz при условиях 0 <= x, y, z <= d, x^2 + y^2 + z^2 = d^2
В плане максимума V от V^2 ничем не отличается - нам, где максимум у V, там же и у V^2, и наоборот.
V^2 = x^2 * y^2 * z^2 = x^2 * y^2 * (d^2 - x^2 - y^2)
На границе интересующей нас области V^2 = 0, а внутри не 0 -> максимум достигается где-то внутри
V^2 - равномерно дифференцируема -> максимум может достигаться только там, где равны нулю частные производные.
d/dx: 2x * y^2 * (d^2 - x^2 - y^2) - x^2 * y^2 * 2x = 0
2xy^2 (d^2 - x^2 - y^2 - x^2) = 0
2x^2 + y^2 = d^2 (*)
d/dy: x^2 * 2y * (d^2 - x^2 - y^2) - x^2 * y^2 * 2y = 0
2yx^2 (d^2 - x^2 - y^2 - y^2) = 0
x^2 + 2y^2 = d^2 (**)
Вычитая из (*) (**) получаем
x^2 - y^2 = 0
x = y
Подставляем в любое из уравнений, получаем, что x^2 = y^2 = d^2 / 3, откуда z^2 = d^2 / 3
x = y = z = d / sqrt(3) и искомый параллелепипед - куб.
Другие вопросы из категории
Читайте также
2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции
количество таких участков при условии, что стороны измеряется целым числом метров.
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова ультиматум,при условии что между буквами "т" стоят все гласные и только они.