найдите все пары натуральных чисел (х,у), удовлетворяющих равенству 1/х+1/у=7/13

+ 0 -

саня123456789

08 марта 2014 г., 21:10:39 (10 лет назад)

(x+y)/xy=7/13
13*(x+y)=7*xy
13*x+13*y-7*x*y=0
x*(13-7y) +13*y=0
x*(13-7y) -2*(13-7y)-y+26=0
(x-2)*(13-7y)-y=-26
(7x-14)*(13-7y)-7*y=-182
(7x-14)*(13-7*y)+(13-7*y)=-169
(7x-13)*(13-7y)=-169
(7x-13)*(7y-13)=169
Тк  каждая из скобок   целое число тк x и y-натуральные.
то каждая из скобок делитель  числа 169=13^2  тут  возможны разложения:
13*13   -13*-13      169*1    -169*-1 и  симметричные им варианты  соответственно.
1) 7x-13=13 
7x=26   невозможно тк 26 не  делится на 7.
2) 7x-13=-13 x=0 (не  подходит тк 0  не  натуральное число)
3) 7x-13=169
 7x=182
x=26
7y-13=1
7y=14
y=2
Cимметричная пара: x=2 y=26
4) 7x-13=-169
  7x=-156  
(не  делится на 7) Другие варианты симметричны  тк  скобки похожи.
То  есть там тоже не будет решений.
Ответ:(2,26) ;(26,2)