При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на многочлен 1+x+x^2+...+x^n

5-9 класс

DinaraSapakova 07 янв. 2015 г., 22:32:07 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Lyudmon

07 янв. 2015 г., 23:18:49 (9 лет назад)

При делении получится некоторый многочлен степени n:

$\frac{1+x^2+x^4+...+x^{2n}}{1+x+x^2+...+x^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

Избавимся от знаменателя:

$(1+x^2+x^4+...+x^{2n})=(1+x+x^2+...+x^n)(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)$

Раскроем скобки в правой части:

$a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)=$

$a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}$

Коэффициенты при нечётных степенях должны быть равны нулю, а коэффициенты при чётных степенях должны быть равны 1:

a_0=1

a_0+a_1=0

a_0+a_1+a_2=1

...

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=1$ , при чётном n

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=0$ , при нечётном n

...

a_n=1

Отсюда получаем, что $a_1=-1$ , $a_2=1$ , $a_3=-1$ , $a_4=1$ , и так далее, коэффициенты с нечётными индексами равны -1, а коэффициенты с чётными индексами равны 1.

Так как a_n=1, то очевидно, что n должно быть чётным, при этом при любом чётном n будут существовать корректные наборы коэффициентов a_i.

Ответ: при любом чётном n.

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

Ответить

Другие вопросы из категории

Ангелочик13 / 07 янв. 2015 г., 21:53:41

помогите пожалуйста. номер 3 ( а,б), 4 (а,б), 5 (а) ,6 (а,в) ,7 (а,б) ,8 (а)

5-9 класс алгебра ответов 2

Tamuna0505 / 07 янв. 2015 г., 19:37:33

Кто силен в функциях? Помогите пожалуйста решить линейную функцию

5-9 класс алгебра ответов 1

Arhangel2182 / 06 янв. 2015 г., 21:54:17

срочно! пожалуйста, решите сейчас! на втором только 17, 18 и 19 на фторой фотографии разложить на множители и решить!

5-9 класс алгебра ответов 6

Тюльпаньчик / 05 янв. 2015 г., 20:24:51

Найти первый член арифмитической прогрессии, если d=1.5,A9=12

5-9 класс алгебра ответов 1

Vol4enok / 05 янв. 2015 г., 7:07:09

Задайте формулой функцию обратную данной: у = 7х - 3; у = -2х + 3; у = 10х - 1, где 2 < х < 8; у = х 4- 3, где -4

< х < 2.

5-9 класс алгебра ответов 2

Читайте также

Elenavorozhejk / 19 авг. 2013 г., 7:27:57

Помогите с алгеброй - задание - 1) При каких b значение дроби

$\frac{b+3}{2}$ меньше значения дроби $\frac{b-1}{5}$ ? 2) При каких x значение суммы дробей $\frac{2-5x}{4}$ и $\frac{7x-3}{6}$ меньше значение дроби $\frac{2x+5}{18}$ ?

5-9 класс алгебра ответов 2

Ineska12 / 02 янв. 2015 г., 0:48:42

1)При каких значения х значения выражения х+8 являются отрицательные числами?

2) При каких целых значениях у значения выражения у+1 являются положительными числами?

5-9 класс алгебра ответов 1

Савка16 / 10 мая 2014 г., 5:34:59

Докажите что выражение х в квадрате + 2x +2 преобретает суммарное значение при каких-либо значениях х (икс). Какое наименьшее значение приобретает это

выражение и при каком значении икс?

5-9 класс алгебра ответов 1

Semerka1 / 30 апр. 2014 г., 13:17:27

1)При каких x значение выражения корень из 7x^2 имеет смысл?

2)при каких значениях x выражение x^2-11x принимает положительное значение ?
3)cколько целочисленных решений имеет неравенство x^2-2x-3x<=0?
ОЧЕНЬ СРОЧНО , ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТО!!!!

5-9 класс алгебра ответов 1

Winterbutterfly / 01 мая 2015 г., 8:29:03

Разложите на множители: 1. a)x^8+x^4-2 b)a^5-a^2-a-1 2.Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и

числом 1 кратна 3.

3. Упростите выражение

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)(2^32+1)

4. При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3x+7y=23

5-9 класс алгебра ответов 2

Вы находитесь на странице вопроса "При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на многочлен 1+x+x^2+...+x^n", категории "алгебра". Данный вопрос относится к разделу "5-9" классов. Здесь вы сможете получить ответ, а также обсудить вопрос с посетителями сайта. Автоматический умный поиск поможет найти похожие вопросы в категории "алгебра". Если ваш вопрос отличается или ответы не подходят, вы можете задать новый вопрос, воспользовавшись кнопкой в верхней части сайта.