Sin^3 x+cos^3 x=cos2x

+ 0 -

Formuz00

31 марта 2014 г., 4:16:20 (10 лет назад)

sin^3(x)+cos^3(x)=cos^2(x)-sin^2(x)
sin^3(x)+sin^2(x)+cos^3(x)-cos^2(x)=0
sin^2(x)(sin(x)+1)+cos^2(x)*(cos(x)-1)=0
Оценим:
sin^2(x)≥0, sin(x)+1≥0, тогда sin^2(x)*(sin(x)+1)≥0
cos^2(x)≥0, cos(x)-1≤0, тогда cos^2(x)*(cos(x)-1)≤0
Получили: уравнение имеет решения,когда оба этих выражения равны 0.

Но тут я лучше по-другому распишу это.

sin^3(x)+cos^3(x)=cos^2(x)-sin^2(x)
(sin(x)+cos(x))*(sin^2(x)-sin(x)cos(x)+cos^2(x))-(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x))=0
(sin(x)+cos(x))*(sin^2(x)-sin(x)cos(x)+cos^2(x)-cos(x)+sin(x))=0
То:
sin(x)+cos(x)=0 или 1-sin(x)cos(x)-cos(x)+sin(x)=0
tg(x)=-1                   sin^(x)-2sin(x)cos(x)+cos^2(x)+(sin(x)-cos(x))+sin(x)cos(x)=0
x=-pi/4+pi*n             (sin(x)-cos(x))^2+ (sin(x)-cos(x))+sin(x)*cos(x)=0
                               Пусть sin(x)-cos(x)=t, то 
                               t^2=1-2sin(x)cos(x)
                               2sin(x)cos(x)=1-t^2
                               sin(x)cos(x)=(1-t^2)/2
                               Получили: t^2+t+1/2-1/2t^2=0
                               0.5t^2+t+0.5=0
                               t^2+2t+1=0
                               (t+1)^2=0, ⇒ t=-1
                               sin(x)-cos(x)=-1
                               sin(x)=cos(x)-1
                               x=-pi/2+2pi*n; x=2pi*n

Ответ:  n-Целое число