При каких значениях параметра a уравнение 4log7 2x−∣log7 x∣+a=0 имеет ровно четыре решения?

+ 0 -

Vitaliivanov2017

29 мая 2013 г., 8:48:37 (10 лет назад)

Обозначим

Рассмотрим квадратное уравнение
4t² -| t | + a = 0
или
4t²-| t | = - a
Построим графики функций у=4t²-| t |  и у=-а
При t≥0 у=4t²-t  - парабола, ветви которой направлены вверх, пересекает ось ох в точках t=0  и t=1/4
вершина в точке с асциссой t=1/8  при этом у(1/8)=4·1/64 - 1/8=1/16-2/16= - 1/16
Вторая ветвь графика у=4t²-| t | строится симметрично относительно оси оу.
Прямая у=-а имеет с графиком четыре точки пересечения  при -1/16 < -a <0
Уравнение
4t² -| t | =- a
имеет четыре корня при  -1/16 <-a< 0
а значит и данное уравнение, потому как log(7)x=t
Умножаем на -1 и меняем знаки неравенства на противоположные
0<a<1/16