Решите:

10-11 класс

x^2-3xy+2y^2=3

Dobrooo 06 февр. 2015 г., 19:05:39 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Xpress27081976

06 февр. 2015 г., 21:52:41 (9 лет назад)

$x^2-3xy+2y^2=3\\
 x^2-3xy+2y^2-3=0\\
$
нужно как то выразить $y$ , поступим так , решим квадратное уравнение относительно этой переменной
$x^2-3xy+2y^2=3\\
2y^2-3xy+x^2-3=0\\
D= \sqrt{9x^2-4*2*(x^2-3)} = \sqrt{x^2+24}\\
y=\frac{3x+\sqrt{x^2+24}}{4} \\
y=\frac{3x-\sqrt{x^2+24}}{4}\\
$
⇒ $y=\frac{3x-\sqrt{x^2+24}}{4} \\
$ с выражение ⇒ $\sqrt{x^2+24}$ следует то что х должен быть таким что бы само выражение была квадратом какого то числа очевидно подходит x=5, так как выходит что ⇒7^2
тогда у = 2, видно что и x=-5 подходит, тогда y=-2, видно что и x=+- 1 подходит тогда у=+-2
и того ответ (5;2) (-5;-2) (-1;-2) (1;2)
Докажем что больше нет таких чисел целых
$\sqrt{x^2+24}=n\\
 x^2+24=n^2\\
 n^2-x^2=24\\
 (n-x)(n+x)=24\\
$
так как х целое то и n целое,тогда возможны такие варианты только
$\left \{ {{n-x=2} \atop {n+x=12}} \right. \\
 \left \{ {{n-x=4} \atop {n+x=6}} \right. \\
 \left \{ {{n-x=1} \atop {n+x=24}} \right.\\
 \left \{ {{n-x=3} \atop {n+x=8}} \right.$
с учетом того что первые две системы уже были решены и их ответы уже известны написанные жирным шрифтом, что касается о последних решая их мы не получим целых чисел , соответственно это и будут решения