(sinx)^10+(cosx)^10=29\64

10-11 класс

Xadicа 20 дек. 2016 г., 1:51:05 (7 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Ninok8888

20 дек. 2016 г., 4:34:51 (7 лет назад)

$(sinx) ^{10} =(sin ^{2} x) ^{5} , \\ (cosx) ^{10}=(cos ^{2}x) ^{5} \\ (sinx) ^{10}+(cosx) ^{10}=(sin ^{2}x) ^{5} +(cos ^{2} x) ^{5} = \\ =(sin ^{2}x+cos ^{2}x)( (sin ^{2}x) ^{4} -(sin ^{2}x) ^{3} (cos ^{2}x)+(sin ^{2} x) ^{2} (cos ^{2}x) ^{2} - \\ -(sin ^{2} x)(cos ^{2} x) ^{3} +(cos ^{2} x) ^{4} )$
Учитывая, что
1) $sin ^{2} x+cos ^{2}x=1$
2) $(sin ^{4}x+cos ^{4}x)=(sin ^{2} x+cos ^{2}x) ^{2} -2sin ^{2} x\cdot cos ^{2}x= \\ =1-2sin ^{2}x\cdot cos ^{2} x$
3) $(sin ^{2}x ) ^{4}+(cos ^{2}x) ^{4}=(sin^ {4}x+cos ^{4}x) ^{2} -2sin ^{4}x\cdot cos ^{4}x = \\ =1-4sin ^{2} x\cdot cos ^{2}x+2 sin ^{4}x\cdot cos ^{4} x$

Делаем замену переменной t=sin²x·cos²x
Уравнение примет вид:
1- 4t + 2 t² - t + 2 t² + t² =(29/64)
5t² - 5t + (35/64)=0
64 t² - 64 t + 7=0
D=(-64)²-4·64·7=64(64-28)=64·36=(8·6)²=48²
t= (64-48)/128=16/128 =1/8 или t = (64+48)/128=112/128=7/8

Возвращаемся к переменной х:
1)sin²x·cos²x=1/8
sin²2x=1/2
sin2x=√2/2 ⇒ 2x= (-1)^(k)·π/4 + πk, k∈Z ⇒ x=(-1)^(k)π/8 + (πk)/2, k∈Z
или
sin2x=-√2/2 ⇒ 2x= (-1)^(n) (-π/4) + πn, n∈Z ⇒ x=(-1)^(n+1)π/8 + (πn)/2,n∈Z

2)sin²x·cos²x=7/8
sin²2x=7/2
sin2x=√(7/2) - нет решения, √7/2>1
или
sin2x=-√(7/2) - нет решения , -√(7/2)<-1

Ответ. x=(-1)^(k)π/8 + (πk)/2, k∈Z или x=(-1)^(n+1)π/8 + (πn)/2,n∈Z