-Найдите/ [2sin^3(a)-cos(a)]/[cos^3(a)+sin(a)] если tg(a) является одним из корней уравнения 4x^4+9x^2+11x+3=0

+ 0 -

Danyaaaaaa

05 авг. 2013 г., 23:57:40 (10 лет назад)

1. Преобразуем тригонометрическое выражение, поделив и числитель, и знаменатель на cos^(3)x и учтем, что 1/cos^2 x = 1 + tg^2 x:

Мы здесь подставили вместо tga его значение, равное (-1/2).

х=-1/2 - корень уравнения:

Из анализа левой части видно, что корень надо искать в области отрицательных чисел в промежутке (-1;0). Взяв среднее значение из этого интервала, сразу получили корень (-1/2). Задаваться вопросом о других корнях не будем, так как нам в задаче сказано, что tga является одним из корней приведенного уравнения.

Ответ: -4.

2)  Первое неравенство означает что аргумент синуса лежит в нижней половине единичной окружности.  Запишем несколько получившихся интервалов:                    -------------

П<=Пх-3П/2<=2П   или:    2,5<=x<=3,5

-П<=Пх-3П/2<=0  или:      0,5<=x<=1,5

------------------------------ -1,5<=x<=-0,5

                                        -------- и так далее: длина интервала 1, а расстояние между ними -  2.

Теперь рассмотрим второе неравенство. Умножением на х оно разбивается на два:

при х>0: 2x^3-9x^2+2x+1 <=0      при x<0: 2x^3 -9x^2+2x+1>=0

Выражение в левой части раскладывается на множители. Сначала подбором угадывается первый корень х1 = 1/2. Затем делением исходного многочлена на (х-1/2) получим квадр. трехчлен (2x^2-8x-2), который имеет корни: х2 = 2-кор5,  х3 = 2+кор5

  (-)                     (+)                  (-)                      (+)

-------(2-кор5)/////0-----(1/2)///////////(2+кор5)-----

Заштрихованные области - решения данного неравенства.

Теперь проанализируем какие из интервалов первого неравенства отвечают заштрихованным областям (помня, что 2-кор5 примерно = -0,25, а 2+кор5 прим.= 4,25). Видим только один интервал, который и есть решение данной системы: 0,5<=x<=1,5

Ответ: [0,5; 1,5].