9 x^4+3x^3-14x^2-2x+4=0 пожалуйста подробней хочу сам научится

+ 0 -

Jhen1999

06 авг. 2013 г., 6:40:54 (10 лет назад)

2x^8-3x^6-x^4-3x^2+2=0
(2x^8+2)-(3x^6+3x^2)-x^4=0
2(x^8+1)-3(x^6+x^2)-x^4=0
Остался болтаться один x^4. На него и разделим, но в начале исключим решение x=0
2*0-3*0-0-3*0+2=2 ,т.е. не ноль!
Теперь делим на x^4:
2(x^4+1/x^4)-3(x^2+1/x^2)-1=0
напрашивается замена:
u= x^4+1/x^4
v= x^2+1/x^2
которая упростит уравнение до:
2u-3v-1=0
но нам нужно второе уравнение, которое свяжет новые переменные u и v.
если v=x^2+1/x^2 возвести в квадрат, то получим:
v^2=(x^2+1/x^2)^2=x^4+2+1/x^4
т.е. видим связь с u
v^2=x^4+2+1/x^4=u+2

Таким образом получаем два уравнения, которые связывают наши новые переменные:
v^2=u+2
2u-3v-1=0
Выразим u
u=(3v+1)/2
и подставим в другое уравнение:
v^2=(3v+1)/2+2
умножаем на 2 и собираем слева
2v^2-3v-5=0
решаем по формуле и получаем, что v равно -1 или 5/2
находим значение второй переменной u:
u=(3v+1)/2
(-3+1)/2=-1
(3*5/2+1)/2=17/4
т.е. (v;u) равно (-1;-1) и (5/2;17/4)
Возвращаясь к переменной х:
u= x^4+1/x^4
v= x^2+1/x^2
очевидно в правой части числа могут быть только положительные, значит вариант (-1;-1) нужно отбросить.
x^4+1/x^4=17/4
x^2+1/x^2=5/2
умножаем на x^4 первое уравнение и умножаем на x^2 второе уравнение
x^8-(17/4)x^4+1=0
x^4-(5/2)x^2+1=0
т.е. наши решения должны обращать в ноль ОБА уравнения.
В первом уравнении делаем замену t=x^4 и получаем
t^2-(17/4)t+1=0
решаем и получаем 4 и 1/4
возвращаясь к х получаем (t=x^4):
x равен +-2^(1/2) и +-2^(-1/2)
Во втором уравнении делаем замену t=x^2 и получаем
t^2-(5/2)t+1=0
решаем и получаем 2 и 1/2
возвращаясь к х получаем (t=x^2):
x равен +-2^(1/2) и +-2^(-1/2)

Ответ: +-2^(1/2) и +-2^(-1/2)

+ 0 -

Marmeladka45

06 авг. 2013 г., 7:49:03 (10 лет назад)

2x^8-3x^6-x^4-3x^2+2=0