Докажите , что при любом значении а верно неравенство

5-9 класс

1) 3(а+1)+а-4(2+а)<0
2) (7а-1)(7а+1)<49а^2
3) 1+2а^4 ≧ а^2+2а

Milafka777 03 авг. 2013 г., 20:09:41 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Gubkabob

03 авг. 2013 г., 21:49:20 (10 лет назад)

$3(a+1)+a-4(2+a)<0\\
3a+3+a-8-4a<0\\
-5<0$
то есть при любых значениях а это справедливо так как -5<0

$(7a-1)(7a+1)<49a^2\\
49a^2-1<49a^2\\
-1<0$
верно!

$1+2a^4 \geq a^2+2a\\
1 \geq a^2+2a-2a^4$
Здесь парабола четвертой степени , можно доказать так , как как перед 2 стоит - то ее ветви направлены в низ , достаточно найти ее максимальное значение
Через производную
$f(a)=a^2+2a-2a^4\\
f'(a)=16a^3+2a+2\\
8a^3+a+1=0\\
$
теперь решая получим неочень красивый корень , и подставляя ее в наше изначальное уравнение получим что f(a)<=1

2) $x^2+2y^2+2xy+6y+10>\\
x^2+2xy+y^2+y^2+6y+10>0\\
x^2+2xy+y^2+y^2+6y+9+1>0\\
(x+y)^2+(y+3)^2>-1$
Так как квадраты НИКОГДА НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ТО ИХ СУММА ТОЖЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНА