Докажите , что при любом натуральном значении n выполняется равенство :

10-11 класс

Прикрепленные изображения

Natyakotenok 07 мая 2013 г., 8:06:46 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Dekabr2004

07 мая 2013 г., 8:48:06 (10 лет назад)

Докажем с помощью математической индукций
база 1 верна
теперь переход n->n+1
$1^3+2^3+3^3+...n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\\
$
переход
$1^3+2^3+3^3+...n^3+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\
$
так как предыдущий ряд равен $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
то нужно доказать что $\frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\
$
докажем
$\frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\
 \frac{(n+1)^2*n^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}\\
\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\
\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\
$
Доказано

2) $1^3+3^3+5^3...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)\\
n=1\ verno\\
n->n+1\\
1^3+3^3+5^3...(2n-1)^3+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\\
n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\\
(n+1)^2(2n^2+4n+1)=(n+1)^2(2n^2+4n+1)$
Доказано