Помогите решить : (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=3

+ 0 -

Angela1274new

17 февр. 2014 г., 6:43:07 (10 лет назад)

Мне уравнение понравилось.

В общем виде уравнение 4 степени почти не решаются, значит тут что-то попроще.

Обратим внимание, что слева всё время +1 и "симметризуем" уравнение, записав его от точки, относительно которой эти смещения симметричны, такой точкой, естественно, будет 4.5.

Введем новую переменную

у = (х+4.5), откуда х = у-4.5. Подставим, получим

(у-1.5)(у-0.5)(у+0.5)(у+1.5)=3

это уже радует, получились разности квадратов, свернём

(у^2-2.25)(y^2-0.25)=3

это уже биквадратное уравнение, которое можно решить, но мы ленивые, не хотим этого делать, а введём ещё одну замену

z = y^2-0.25, подставим, получим

(z-2)z = 3 ну а это уже детский лепет

z^2 -2z -3 = 0

z = 1+-sqrt(1+3) = 1+-2

z1 = -1       z2 = 3

Теперь раскручиваем всё назад

z1 = -1                                                                                                               z2 = 3

y1^2 - 0.25 = -1                                                                                       y2^2 - 0.25 = 3

y1^2 = -3/4                                                                                               y2^2 = 13/4

y11 = i*sqrt(3)/2         y12 = -i*sqrt(3)/2                             y21 = sqrt(13)/2       y22 = -sqrt(13)/2 

x= y-9/2

x11 = -9/2 +i*sqrt(3)/2   x12 = -9/2 -i*sqrt(3)/2      x21 = -9/2 +sqrt(13)/2   x22 = -9/2 - sqrt(13)/2

Вот мы и нашли все 4 корня уравнения.

Замечание1 Решение в комплексных числах, в действительных останется, естественно, всего 2. Которые справа.

Замечание2 Арифметику на всякий случай перепроверь, мог допустить какую-то описку, пишу прямо в экран.

Успехов!

+ 0 -

Zabolotina98

17 февр. 2014 г., 8:23:43 (10 лет назад)

(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=3