Решите систему уравнения.в подробностях пожалуйста.

+ 0 -

Pasta0000

31 авг. 2014 г., 3:06:35 (9 лет назад)

Решим нашу симметрическую систему. Многие пытаются решать способом подстановки, выразив одну переменную через другую. Так можно делать. Но я покажу значительно более изящный и красивый способ решения таких систем.
Прежде всего, введём замену.
Пусть x + y = a, xy = b. очевидность этой замены станет ясна чуть позже.
Теперь рассмотрим x^2 + y^2. Заметим, что x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b
Последний шаг очевиден, поскольку я просто подставил наши новые переменные.
Теперь получаем систему уравнений с дувмя переменными.
a = 3                                        a = 3
a^2-2b = 29                               2b = a^2 - 29 = 9 - 29 = -20
Откуда b = -10.
Теперь, учитывая, что a = 3, b = -10, получим ещё одну систему уравнений относительно x и y:
           x + y = 3
           xy = -10
Решается система элементарно, с помощью подстановки:
y = 3 - x                                3x - x^2 = -10                      x^2 - 3x - 10 = 0
x(3-x) = -10                            y = 3 - x                             y = 3-x
Из теоремы Виета следует, что возможны два случая:
     x1 = 5; x2 = -2
Отсюда в двух случаях находим y и записываем ответ:
y1 = 3 - 5 = -2    y2 = 3 + 2 = 5
Ответ:(5;-2); (-2;5)
Кстати, обратите внимание на ответ. Обе пары как бы симметричны друг другу.
 

+ 0 -

Achirak

31 авг. 2014 г., 4:46:49 (9 лет назад)

прежде всего заметьте, что наша система обладает замечательным свойством: если я поменяю x на y и наоборот, то у меня ничего не поменяется. ) Проверьте сами ;) К слову, системы с таким свойством называются симметрическими системами(ну название само за себя отвечает)