какое число больше 123.......99 или 50^99

10-11 класс

LaSsST 13 нояб. 2013 г., 19:20:14 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Сазоша

13 нояб. 2013 г., 21:45:31 (10 лет назад)

Если не использовать школьные методы
Воспользуемся неравенством которая образовывается при разложение в степенной ряд $n!$ с равным количество цифр
$n! \leq \sqrt{2\pi*n}*(\frac{n}{e})^n\\\\
99! \leq \sqrt{198\pi}*(\frac{99}{e})^{99}\\\\
\sqrt{198}>\sqrt{196}>14\\\\ 
\sqrt{\pi}>1.7\\\\
$
Положим что
$24*(\frac{99}{e})^{99}<50^{99}\\\\
24*\frac{99^{99}}{e^{99}}<50^{99}\\\\
e=2.7\\\\
24*37^{99}<50^{99}\\\\
$
то есть верно

Ответ $50^{99}>99!$

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Oksanaiurieva

13 нояб. 2013 г., 23:41:08 (10 лет назад)

положим что 1*2*3*4......*99<50^99
сгруппируем слева слагаемые так
50*(49*51)*(48*52)..........*(1*99)<50^99 Докажем что: (49*51)*(48*52)*.......(1*99)<50^98
так как в cкобках числа равноудаленные от 50
каждую такую пару можно представить как
(50-n)(50+n) когда n не не равно нулю это выражение равно
50^2-n^2<50^2 когда n=0 50^2=50^2 тогда тк всего 49 пар (49*51)*(48*52)*.......(1*99)<50^49*2=50^98
Откуда 1*2*3*4......*99<50^99

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить