Решить уравнение: x^2-2xcosPix+1=0

+ 0 -

Лиса96

26 марта 2014 г., 10:56:22 (10 лет назад)

x=-1 - решение.

Сразу скажем, что x=0 - не решение.

Пусть для начала x>0;

x^2 - 2x cos(pi x) + 1 = (x^2 + 1) - 2x cos(pi x) >= 2x - 2x cos(pi x) = 2x (1 - cos(pi x)) 

Последнее выражение >= 0, так что для того, чтобы x оказатлся корнем, нужно, чтобы 

2x (1 - cos(pi x)) = 0

x != 0 по предположению, тогда cos(pi x) = 1

x^2 - 2x + 1 = 0

x = 1.

Аналогично для x<0: x^2 - 2x cos(pi x) + 1 >= -2x - 2x cos(pi x) = -2x (1 + cos(pi x)) >= 0

cos(pi x) = -1

x^2 + 2x + 1 = 0

x = -1

Проверка. 

x=1:  1^2 -2*1*cos(pi)+1=4 != 0

x=-1: ...=0

Ответ: x=-1.