Найдите наибольшее и наименьшее натуральное значения n при которых уравнение:
5-9 класс
|
имеет натуральные решения.
Объясните на уровне 9 класса, как решать такие задания.
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
при х и у = 1 , наше уравнение очевидно не справедливо ,
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
видно что x^2+y^2>2xy .но только при x=y => x^2+y^2>=2xy
соответственно если мы возведем левую часть в 2010 степень она будет больше правой, при х не = у
(x^2+y^2)^2010>=(2xy)^2010 , следовательно n>=2010. при х не = у
То есть мы по сути должны для начало решить в целом наше уравнение , показать при каких значениях существует решение!
так как мы сказали раннее что n>=2010, то при n=2010,
(x^2+y^2)^2010=(xy)^2010
x^2+y^2=xy
(x+y)^2-2xy=xy
(x+y)^2=3xy
слева число будет точным квадратом какого то числа , а справа чтобы был квадратом нужно чтобы xy=3, иначе квадрат не получиться, что противоречит выражению стоящему слева!
Следовательно n>2010
Пусть х=y . тогда
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
(2x^2)^2010 =x^(2n)
2^2010*x^4020=x^2n
2^2010=x^(2n-4020)
Так как слева стоит четное числа и как видно в геом прогрессий с знаменателем 2; то справа значит будет тоже четное и х=2^k, где к=1,2,4,8,16,,,
Так как пусть x числа четное 10,12,14 ,,, но не степень двойки тогда она должна делиться на числа 2,4,8,16,32,,, !
2^2010=x^(2n-4020)
2^2010=2^(2n-4020)
n=3015, но наибольшее ли оно , так как
1005=k(n-2010)
то "k" отудого делитель 1005 но так как "k" четное и степень 2 , то это невозможно ,следовательно это оно может равняться только 1!
Значит это будет и наибольшим !
Попробуем при тех же самых х=у найти минимальное! то есть я не уверен и уверен что есть
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
2^2010=x^(2n-4020)
так как было сказано что x=2.4.8.16
1005= k(n-2010)
очевидно решение при n=2011. k=1 так как k>0
отудого x^2=2^2010 => x=2^1005.
Теперь рассмотрим при х>y
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
но так как
x^2+y^2 > 2xy
то есть при разных х , у оно не имеет решений!
P.S в таких задачах главное преобразовать уравнение в более простое, проверить решения при х=у, х>y. Что то заметить и так далее!
При любом n пара x = 1, y = 1 не является решением.
Поэтому (xy)^n =
(x^2+y^2)^2010 (2xy)^2010 (xy)^2010`. Значит, n > 2010.
Предположим,
что `x ne y`. Тогда найдется простое число p, такое что `x = p^k a`, `y
= p^m b`, и числа a и b не делятся на p. Для определенности можно
считать, что `k gt m ge 0`.
Тогда `(p^(2k) a^2 + p^(2m) b^2)^2010 = (p^(k+m)ab)^n`; `(p^(2(k-m)) a^2 + b^2)^2010 = a^nb^np^(n(k+m)-2m*2010)` (1)
Из условий n > 2010 и k > m получаем: n(k+m) - 2m*2010 = (nk-2010m) + m(n-2010) > 0 .
Значит, правая часть равенства (1) - целое число, которое делится на p. Левая часть на p не делится. Противоречие.
Пусть
теперь x = y , тогда из равенства `(x^2+y^2)^2010 = (x^2)^n` получаем:
`x^(n-2010) = 2^1005`. Откуда `x = 2^q = 0,1,2,...` и q(n - 2010) = 1005
.
Поэтому n - 2010 натуральный делитель числа 1005. По условию нас
интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение n. Поэтому
нужно взять n - 2010 = 1 и n - 2010 = 1005, откуда n = 2011 и n = 3015,
При n = 2011 x = y = 2^1005, при n = 3015 x = y = 2.
Ответ: 2011, 3015
Другие вопросы из категории
-5(0,3в+1,7)+12,5-8,5в
Читайте также
не имеет корней
2)Найти значение c, при которых уравнение -x^2-2x+c=0
имеет 2 действительных корня
прочитайте функцию. 4 Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = (
о 5 в)значение х,при которых функция принимает положительные значения;отрицательные значения г)промежутки,на которых функция возростает;убывает 2)Найдите координаты вершины параболы у=-(х-1)2-1 3)Функция у=-2х2+вх+4 наибольшее значение принимает в точке х0=3.Найдите это значение. 4) Периметр прямоугольника 80 см.Какими должны быть его длина и ширина,чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?
значение функции равно -5. 3.значения аргумента, при которых у больше 1. 4.наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке (-5, -1)