Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды

+ 0 -

Natasha1609s

07 окт. 2014 г., 5:53:39 (9 лет назад)

Пыталась адаптировать под данные цифры- запуталась окончательно.
Поэтому вот вам точно такая же задача, только в ней ребра равны 3. Подставьте свои12

1) Обозначим основание пирамиды АВС и вершину пирамиды S. Тогда углы CSB=ASB=ASC=90 градусов. 
2) Рассмотрим треугольник ASC (угол S=90 гр.) - этот треугольник прямоугольный и равнобедренный, в котором известны оба катета - AS=SC=3  ==>  AC=3 корня из 2
3) Из того, что треугольники ASC, CSB и BSA прямоугольные и равнобедренные, значит то, что и их гипотенузы равны, т.е. AC=CB=BA=3 корня из 2  ==>  треугольник ABC - равносторонний, он же и основание мирамиды! ==> S(осн.)=(((3 корня из 2)^2) * корень из 3) / 4 = (9*2*корень из 3)/4  = (9 корней из 3)/2  (единиц площади)
4) Теперь рассмотрим треугольник ABC - т.к. он равносторонний, то его серединные перпендикуляры, биссектрисы, медианы и высоты совпадают. S(ABC) = (BD*AC)/2  ==>  BD = (2*S(ABC)) / AC = (2*9 корней из 3) / (2*3 корня из 3) = 3 (единицам длины)
5) Так как треугольник ABC равносторонний, то центры его вписанной и описанной окружности совпадают. Центр вписанной окружности делит бессектрису в отношении 2:1. Теперь конкретно о нашем основании:BO = (2*BD) / 3 = (2*3) / 3 = 2 (единицы длины)  ==>  что в прямоугольном треугольнике SOB на мнадо узнать SO, которая является высотой пирамиды. SO^2 = 9 - 4 = 5  ==> SO = корень из 5
6) И наконец - объем) V = 1/3 * S(осн.) * SO = 1/3 * (9 корней из 3)/2  * корень из 5 = (3 корня из 15)/2