cos2x+cos4x+2sin^2 x/2=1 С подробными объяснениями ,пожалуйста, напишите каждый шаг

+ 0 -

Esafiulina

12 авг. 2014 г., 23:55:09 (9 лет назад)

cos2x + cos4x + 2 sin^2(x/2) = 1

cos2x + cos4x раскладываем по формуле преобразования суммы в произведение:

cos2x + cos4x = 2 ( cos((4x+2x)/2) cos ((4x-2x)/2) ) = 2 cos3x cosx 

sin^2(x/2) раскладываем по формуле половинного аргумента:

sin^2(x/2) = (1 - cosx)/2 

2 cos3x cosx + 2 (1-cosx)/2 = 1

cos3x разложим по формуле косинуса суммы:

cos3x = cos(2x + x) = cos2xcosx + sin2xsinx

2 (1-cosx)/2 = 1 - cosx

2 (cos2xcosx + sin2xcosx) cosx + 1 - cosx = 1

сократим 1 в левой и правой части уравнения, вынесем cosx за скобку:

cosx (2 (cos2xcosx + sin2xsinx) - 1) = 0

раскроем cos2x по формуле косинуса двойного аргумента:

cos2x = cos²x - sin²x

раскроем sin2x по формуле синуса двойного аргумента: 

sin2x = 2sinxcosx 

cosx (2 ((cos²x - sin²x)cosx + 2sin²xcosx) - 1) = 0

внесем 2 за скобку:

cosx (2cos³x - 2sin²xcosx + 4sin²xcosx - 1) = 0

cosx (2cos³x + 2sin²xcosx - 1) = 0

вынесем 2cosx за скобку:

cosx (2cosx(cos²x  + sin²x) - 1) = 0

cos²x  + sin²x = 1 (основное тригонометрическое тождество)

cosx (2cosx - 1) = 0

cosx = 0 или 2cosx - 1 = 0

1) cosx = 0

x = π/2 + πn, n∈Z

2) 2cosx - 1 = 0

cosx = ½

x = ±π/3 + 2πn, n∈Z

+ 0 -

Sashkadevic

13 авг. 2014 г., 2:51:08 (9 лет назад)

Дано: cos(2*x)+cos(4*x)+2*sin(x/2)^2 = 1

ОДЗ уравнения: x ∈(-бесконечность, +бесконечность)

Делаем преобразование левой части уравнения: cos(2*x)+cos(4*x)+2*sin(x/2)^2 = cos(4*x) + cos(2*x) + 2*sin(x/2)^2

Уравнение после преобразования:cos(4*x) + cos(2*x) + 2*sin(x/2)^2 = 1

Периодические решения: 2 пи k + пи/2; 2 пи k - пи/2

Ответ (решение уравнения с учетом ОДЗ):  x ∈ {2*пи*k-пи/2, 2*пи*k+пи/2}, k ∈ Z; 

Ответ (включая комплексные числа): x ∈ {2*%pi*k-%pi/2,2*%pi*k+%pi/2}, k ∈ Z;  

x = (700430806562224068*%pi*k+113*%i-611241239748253550)/350215403281112034;

x = (700430806562224068*%pi*k+113*%i+611241239748253550)/350215403281112034;

x = (36641286568286355456*%pi*k+1017*%i 6395111470866104320)/18320643284143177728;

x =(36641286568286355456*%pi*k+1017*%i+6395111470866104320)/18320643284143177728;

x = (6662052103324790052*%pi*k+1017*%i-8139232781102312330)/3331026051662395026;

x =(6662052103324790052*%pi*k+1017*%i+8139232781102312330)/3331026051662395026;

k ∈ Z